Question

19．已知函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+8在x=1及x=2处取得极值．
（1）求a、b的值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，利用函数的极值点，列出方程组，求解a，b即可．
（2）利用函数的极值点，结合导函数的符号，推出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）由已知函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+8，
可得f′（x）=6x²+6ax+3b
因为f（x）在x=1及x=2处取得极值，所以1和2是方程f′（x）=6x²+6ax+3b=0的两根，
故$\left\{\begin{array}{l}6+6a+3b=0\\ 24+12a+3b=0\end{array}\right.$
解得：a=-3、b=4．
（2）由（1）可得f（x）=2x³-9x²+12x+8，
可得 f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）
当x＜1或x＞2时，f′（x）＞0，f（x）是增加的；
当1＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）是减少的．
所以，f（x）的单调增区间为（-∞，1）和（2，+∞），f（x）的单调减区间为（1，2）．

点评 本题考查导函数的应用，函数的极值以及函数的单调区间的求法，考查计算能力．