Question

设函数f（x）=

a

3

x³+bx²+4cx+d的图象关于原点对称，f（x）的图象在点P（1，m）处的切线的斜率为-6，且当x=2时，f（x）有极值．
（1）求a、b、c、d的值；
（2）求f （x）的单调区间；
（3）若x₁，x₂∈[-1，1]，求证：|f（x₁）-f（x₂）|≤

44

3

．

Answer 1

分析：（1）欲求实数a、b、c、d的值，利用在x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率结合f′（2）=0．从而问题解决．
（2）把（1）求出的实数a、b、c、d的值代入导函数中确定出解析式，令导函数等于0求出x的值，根据x的值分区间讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间．
（3）由（2）知f（x）在[-1，1]上单调递减，当x∈[-1，1]时 f（1）≤f（x）≤f（-1）即|f（x）|≤

22

3

，进一步得到|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x₁）|+|f（x₂）|≤

22

3

+

22

3

=

44

3

从而得到证明．

解答：解：（1）f′（x）=ax²+2bx+4c由条件可得b=d=0，f'（1）=-6，f′（2）=0
∴a+4c=-6，4a+4c=0 解得 a=2，c=-2
故a=2，b=0，c=-2，d=0．′（4分）
（2）∵f（x）=

2

3

x³-8x，∴f'（x）=2x²-8=2（x+2）（x-2）
令f'（x）＞0得x＜-2或x＞2，令f′（x）＜0得-2＜x＜2．
∴f（x）的单调增区间为（和[2，+∞）；f（x）的单调减区间为[-2，2]．（8分）
（3）证明：由（2）知f（x）在[-1，1]上单调递减
∴当x∈[-1，1]时 f（1）≤f（x）≤f（-1）即-

22

3

≤f（x）≤

22

3

亦即|f（x）|≤

22

3

故当x₁，x₂∈[-1，1]时，|f（x₁）|≤

22

3

，|f（x₂）|≤

22

3

．
从而|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x₁）|+|f（x₂）|≤

22

3

+

22

3

=

44

3

即|f（x₁）-f（x₂）|≤

44

3

．…（5分）

点评：此题主要考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负判断函数的单调性并根据函数的增减性得到函数的极值，是一道中档题．