Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

1

2

，且经过点A（-1，-

3

2

）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）如果斜率为

1

2

的直线EF与椭圆交于两个不同的点E、F，试判断直线AE、AF的斜率之和是否为定值，若是请求出此定值；若不是，请说明理由．
（3）试求三角形AEF面积S取得最大值时，直线EF的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆的离心率e=

1

2

，且经过点A（-1，-

3

2

），建立方程，求出a，b，即可求椭圆E的标准方程；
（2）设直线EF的方程为：y=

1

2

x+m，代入

x2

4

+

y2

3

=1，求出直线AE、AF的斜率之和，即可得出结论；
（3）求出三角形AEF面积S，利用导数求最值，即可求出直线EF的方程．

解答： 解：（1）由题意，e=

c

a

=

1

2

，…．（1分）
椭圆C经过点A(-1，-

3

2

)，∴

(-1)2

a2

+

(- 3 2 )2

b2

=1，
又a²=b²+c²，解得b²=3，a²=4，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…．（3分）
（2）设直线EF的方程为：y=

1

2

x+m，代入

x2

4

+

y2

3

=1
得：x²+mx+m²-3=0．△=m²-4（m²-3）＞0且

x1+x2=-m x1x2=m2-3

；…．（4分）
设A（x₀，y₀），由题意，kAE=

y1-y0

x1-x0

，kAF=

y2-y0

x2-x0

；…．（5分）
∴kAE+kAF=

y1-x0

x1-x0

+

y2-x0

x2-x0

=

(y1-x0)(x2-x0)+(y2-x0)(x1-x0)

(x1-x0)(x2-x0)

分子为：t=y₁x₂+y₂x₁-x₀（y₁+y₂）-y₀（x₁+x₂）+2x₀y₀
又y1=

1

2

x1+m，y2=

1

2

x2+m，
∴t=（x₁+x₂）（y₁+y₂）-x₁y₁-x₂y₂-x₀（y₁+y₂）-y₀（x₁+x₂）+2x₀y₀
=（m+2）（x₁+x₂）+x₁x₂+2m+3=（m+2）（-m）+m²-3+2m+3=0，
∴k_AE+k_AF=0．
即直线AE、AF的斜率之和是为定值0．…．（8分）
（3）|EF|=

1+k2

|x₁-x₂|=

5

2

12-3m2

，d=

|1+m|

5 2

，
∴S=

1

2

12-3m2

|m+1|，
设f（m）=S²=-

3

4

m4-

3

2

m3+

9

4

m2+6m+3，
∴f′（m）=-

3

2

（m+1）（2m²+m-4），
令f′（m）=0，可得m=-1或m=

-1± 33

4

，
∵-2＜m＜2，
∴f（m）在（-2，

-1- 33

4

），（-1，

-1+ 33

4

）上单调递增，在（

-1- 33

4

，-1），（

-1+ 33

4

，2）上单调递减，
∴函数在m=

-1+ 33

4

时取得最大值，
∴直线方程为y=

1

2

x+

-1+ 33

4

．．…．（12分）

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．