【题目】已知函数f(x)=|x+a|+|x﹣3|(a∈R).
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥x+8的解集;
(2)若函数f(x)的最小值为5,求a的值.
【答案】
(1)解:当a=1时,求不等式f(x)≥x+8,即|x+1|+|x﹣3|≥x+8,
若x<﹣1,则有﹣x﹣1+3﹣x≥x+8,求得x≤﹣2.
若﹣1≤x≤3,则有x+1+3﹣x≥x+8,求得x≤﹣4,不满足要求.
若x>3,则有x+1+x﹣3≥x+8,求得x≥10.
综上可得,x的范围是{x|x≤﹣2或x≥10}.
(2)解:∵f(x)=|x+a|+|x﹣3|=|x+a|+|3﹣x|≥|x+a+3﹣x|=|a+3|,
∴函数f(x)的最小值为|a+3|=5,∴a+3=5,或a+3=﹣5,
解得a=2,或a=﹣8.
【解析】(1)当a=1时,不等式即|x+1|+|x﹣3|≥x+8,分类讨论去掉绝对值,分别求得它的解集,再取并集,即得所求.(2)由条件利用绝对值三角不等式求得f(x)的最小值,再根据f(x)的最小值为5,求得a的值.
【考点精析】认真审题,首先需要了解函数的最值及其几何意义(利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值),还要掌握绝对值不等式的解法(含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】将正偶数集合{2,4,6,…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组:{2,4},{6,8,10,12},{14,16,18,20,22,24},….则2 018位于第 ( )组.
A. 30 B. 31 C. 32 D. 33
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【题目】定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a、b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b),
(1)求证:f(0)=1;
(2)求证:对任意的x∈R,恒有f(x)> 0;
(3)证明:f(x)是R上的增函数;(4)若f(x)·f(2x-x2)>1,求x的取值范围。
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【题目】由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 , 定义映射f:(a1 , a2 , a3 , a4)→(b1 , b2 , b3 , b4),则f(4,3,2,1)等于( )
A.(1,2,3,4)
B.(0,3,4,0)
C.(﹣1,0,2,﹣2)
D.(0,﹣3,4,﹣1)
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【题目】有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②ln(ln e)=0;③若10=lg x,则x=100;④若e=ln x,则x=e2.其中正确的是( )
A. ①③ B. ②④ C. ①② D. ③④
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【题目】若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是 ( )
A. l1⊥l4
B. l1∥l4
C. l1与l4既不垂直也不平行
D. l1与l4的位置关系不确定
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【题目】已知实数a,b,c.( )
A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100
B.若|a2+b+c|+|a2+b﹣c|≤1,则a2+b2+c2<100
C.若|a+b+c2|+|a+b﹣c2|≤1,则a2+b2+c2<100
D.若|a2+b+c|+|a+b2﹣c|≤1,则a2+b2+c2<100
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【题目】已知平面α外不共线的三点A、B、C到平面α的距离相等,则正确的结论是( )
A. 平面ABC必平行于α
B. 平面ABC必不垂直于α
C. 平面ABC必与α相交
D. 存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内
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