Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当,为两个不相等的正数，证明：.

Answer 1

【答案】（1）时，在区间内为增函数；时，在区间内为增函数；在区间内为减函数； （2）见解析.

【解析】

(1)求出，分两种种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）设，原不等式等价于，令，则原不等式也等价于即.设，利用导数可得在区间内为增函数，，从而可得结论.

（1）函数的定义域为，.

若，，则在区间内为增函数；

若，令，得.则当时，，在区间内为增函数；当时，，在区间内为减函数.

（2）当时，.不妨设，则原不等式等价于，

令，则原不等式也等价于即.

下面证明当时，恒成立.

设，则，

故在区间内为增函数，，即，

所以.