Question

函数f（x）=x³+ax²+bx+5，过曲线y=f（x） 上的点P（1，f（1））的切线斜率为3．
（1）若y=f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，求y=f（x）在[-3，1]上最大值．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用曲线y=f（x）在P（1，f（1））的切线斜率为3，在x=-2时有极值，建立方程，求得a，b的值，即可求得f（x）的表达式；
（2）确定函数的单调性，求出极值与端点函数值比较，即可求y=f（x）在[-3，1]上最大值．

解答：解：（1）∵f（x）=x³+ax²+bx+5，∴f′（x）=3x²+2ax+b
∵曲线y=f（x）在P（1，f（1））的切线斜率为3，在x=-2时有极值，
∴f′（1）=2a+b+3=3，f′（-2）=12-4a+b=0
∴a=2，b=-4，
∴f（x）=x³+2x²-4x+5；
（2）f′（x）=3x²+2ax+b=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2）

x	[-3，-2）	-2	（-2， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，1]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）		极大		极小

∴f（x）_极大=f（-2）=（-2）³+2•（-2）²-4•（-2）+5=13
∵f（1）=1³+2×1-4×1+5=4，f（-3）=（-3）³+2•（-3）²-4•（-3）+5=8
∴f（x）在[-3，1]上最大值为13．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的极值与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．