Question

【题目】已知命题p：x∈R，x2+2x﹣m=0；命题q：x∈R，mx2+mx+1＞0．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题q为假命题，求实数m的取值范围；
（3）若命题p∨q为真命题，且p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：若命题p为真命题，则x2+2x﹣m=0有实数根，

∴△=4+4m≥0，解得：m≥﹣1，

即m的取值范围为[﹣1，+∞）；

（2）解：若命题q为假命题，则

①m=0时，不合题意；

②m＞0时，△=m2﹣4m≥0，解得：m≥4；

③m＜0时，符合题意．

综上：实数m的取值范围为（﹣∞，0）∪[4，+∞）．

（3）解：由（1）得p为真命题时，m≥﹣1；p为假命题时，m＜﹣1，

由（2）得q为真命题时，0≤m＜4；q为假命题时，m＜0或m≥4，

∵p∨q为真命题，且p∧q为假命题，∴“p真，q假”或“p假，q真”

∴ 或 ，

解得实数m的取值范围为[﹣1，0）∪[4，+∞）．

【解析】（1）若命题p为真命题，则x2+2x﹣m=0有实数根，根据△≥0，解出即可；（2）若命题q为假命题，通过讨论（1）m=0时，（2）m＞0时，（3）m＜0时的情况，从而得到答案．（3）通过讨论“p真，q假”或“p假，q真”的情况，得到不等式组，解出即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解复合命题的真假(“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真)，还要掌握全称命题(全称命题：，，它的否定：，;全称命题的否定是特称命题)的相关知识才是答题的关键．