Question

（文科做）：已知双曲线过点A（-2，4）和B（4，4），它的一个焦点是抛物线y²=4x的焦点，求它的另一个焦点的轨迹方程．

Answer 1

解：∵抛物线y²=4x的焦点坐标为（1，0），
∴不妨设双曲线的焦点F₁（1，0），
∵双曲线过点A（-2，4）和B（4，4），
∴|AF₁|=|BF₁|=5，
由双曲线的定义知，||AF₁|-|AF₂||=||BF₁|-|BF₂||，即|5-|AF₂||=|5-|BF₂||，
（1）当5-|AF₂|=5-|BF₂|时，即|AF₂|=|BF₂|，
∴焦点F₂的轨迹是线段AB的中垂线，其方程为x=1（y≠0），
（2）当5-|AF₂|=|BF₂|-5时，即|AF₂|+|BF₂|=10＞6，
∴焦点F₂的轨迹是以A、B为焦点，长轴为10的椭圆，
∴其中心是（1，4），a=5，c=3，∴b²=25-9=16，
其方程为（y≠0）．
∴所求的轨迹方程为：x=1（y≠0）或（y≠0）．
分析：先求出抛物线y²=4x的焦点坐标为（1，0），再由双曲线的定义列出有关另一个焦点的方程，再进行分类讨论，由式子的几何意义和椭圆的定义进行求解，并把不符合题意的点去掉．
点评：本题考查了抛物线的性质，以及由双曲线和椭圆的定义求动点的轨迹方程，要求学生具备一定的逻辑推理能力，具有较大的综合性．