【题目】在如图所示的几何体中,四边形为平行四边形, 平面,且是的中点.
(1)求证: 平面;
(2)求二面角的余弦值的大小.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)取AD的中点N,连接MN、NF.由三角形中位线定理,结合已知条件,证出四边形MNFE为平行四边形,从而得到EM∥FN,结合线面平行的判定定理,证出EM∥平面ADF;(2)求出平面ADF、平面BDF的一个法向量,利用向量的夹角公式,可求二面角的大小.
解析:
(1)解法一:取的中点,连接.
在中, 是的中点, 是的中点,
所以,又因为,
所以且.
所以四边形为平行四边形,所以,
又因为平面平面,故平面.
解法二:因为平面,
故以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知可得,
设平面的一个法向量是.
由得
令,则.
又因为,所以,又平面,
故平面.
(2)由(1)可知平面的一个法向量是.
易得平面的一个法向量是
所以,又二面角为锐角,
故二面角的余弦值大小为.
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【题目】某集团为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查投入广告费t(百万元),可增加销售额约为-t2+5t(百万元)(0≤t≤5) (注:收益=销售额-投放).
(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大?
(2)现该公司准备共投入3百万元,分别用于广告促销和技术改造.经预测,每投入技术改造费x(百万元),可增加的销售额约为-x3+x2+3x(百万元).请设计一个资金分配方案,使该公司由此获得的收益最大.
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【题目】高铁是我国国家名片之一,高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示,B、E、F为山脚两侧共线的三点,在山顶A处测得这三点的俯角分别为、、,计划沿直线BF开通穿山隧道,现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为3、1、2.
(1)求出线段AE的长度;
(2)求出隧道CD的长度.
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【题目】现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动,有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排,以下说法正确的是( )
A. 每人都安排一项工作的不同方法数为
B. 每项工作至少有一人参加,则不同的方法数为
C. 如果司机工作不安排,其余三项工作至少安排一人,则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D. 每项工作至少有一人参加,甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是
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【题目】下列说法中正确的个数是( )
(1) 已知,,,则
(2)将6个相同的小球放入4个不同的盒子中,要求不出现空盒,共有10种放法.
(3) 被除后的余数为.
(4) 若,则=
(5)抛掷两个骰子,取其中一个的点数为点的横坐标,另一个的点数为点的纵坐标,连续抛掷这两个骰子三次,点在圆内的次数的均值为
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【题目】已知定义在上的函数和数列满足下列条件:,,当且时,且,其中、均为非零常数.
(1)若是等差数列,求实数的值;
(2)令(),若,求数列的通项公式;
(3)令(),若,数列满足,若数列有最大值,最小值,且,求的取值范围.
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【题目】下列说法正确的是( )
A. 若命题都是真命题,则命题“”为真命题
B. 命题“”的否定是“,”
C. 命题:“若,则或”的否命题为“若,则或”
D. “”是“”的必要不充分条件
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【题目】如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°.
(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)若PA=4,求平面PBC与平面PDC所成角的余弦值.
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