Question

【题目】设动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上，记 =λ．当∠APC为锐角时，λ的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：由题设可知，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz， 则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）
由 =（1，1，﹣1），得 =（λ，λ，﹣λ），
所以 =（﹣λ，﹣λ，λ）+（1，0，﹣1）=（1﹣λ，﹣λ，λ﹣1），
=（﹣λ，﹣λ，λ）+（0，1，﹣1）=（﹣λ，1﹣λ，λ﹣1），
所以∠APC为锐角等价于cos∠APC＞0，
则等价于 ＞0，
即（1﹣λ）（﹣λ）+（﹣λ）（1﹣λ）+（λ﹣1）2=（λ﹣1）（3λ﹣1）＞0，
∵0≤λ＜1，∴，0≤λ＜
因此，λ的取值范围是 ，
所以答案是 ．

【考点精析】通过灵活运用棱柱的结构特征，掌握两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形即可以解答此题．