【题目】设,椭圆:与双曲线:的焦点相同.
(1)求椭圆与双曲线的方程;
(2)过双曲线的右顶点作两条斜率分别为,的直线,,分别交双曲线于点,(,不同于右顶点),若,求证:直线的倾斜角为定值,并求出此定值;
(3)设点,若对于直线,椭圆上总存在不同的两点与关于直线对称,且,求实数的取值范围.
【答案】(1)椭圆的方程为,双曲线的方程为;(2)详见解析.(3)见解析。
【解析】
(1)利用椭圆和双曲线的性质,结合焦点相同,建立方程,计算m值,即可。(2)设出直线方程,代入双曲线方程,建立等式,计算P的坐标,同理得到Q的坐标,结合,可以得到,发现直线PQ与x轴平行,故证之。(3)结合题意,设出直线AB的方程,代入椭圆解析式中,建立方程,计算出AB的中点M坐标,而M又在直线l上,代入,结合题目所提供的不等式,建立不等关系,即可得到b的范围。
解:(1)由题意,,所以.
所以椭圆的方程为,双曲线的方程为.
(2)双曲线的右顶点为,因为,不妨设,则,
设直线的方程为,
由,得,
则,(),.
同理,,,
又,所以,.
因为,所以直线与轴平行,即为定值,倾斜角为0. ,
(3)设,,直线的方程为,
由整理得,
△,故.
,,
设的中点为,则,,
又在直线 上,所以,.
因为,,
所以
,所以.又,。
即.
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【题目】已知函数.
(1)若,求函数的单调区间;
(2)若函数在区间上不单调,求实数的取值范围;
(3)求证:或是函数在上有三个不同零点的必要不充分条件.
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【题目】2019年4月,河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8省市发布高考综合改革实施方案,决定从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施“”高考模式.所谓“”,即“3”是指考生必选语文、数学、外语这三科;“1”是指考生在物理、历史两科中任选一科;“2”是指考生在生物、化学、思想政治、地理四科中任选两科.
(1)若某考生按照“”模式随机选科,求选出的六科中含有“语文,数学,外语,物理,化学”的概率.
(2)新冠疫情期间,为积极应对“”新高考改革,某地高一年级积极开展线上教学活动.教育部门为了解线上教学效果,从当地不同层次的学校中抽取高一学生2500名参加语数外的网络测试,并给前400名颁发荣誉证书,假设该次网络测试成绩服从正态分布,且满分为450分.
①考生甲得知他的成绩为270分,考试后不久了解到如下情况:“此次测试平均成绩为171分,351分以上共有57人”,请用你所学的统计知识估计甲能否获得荣誉证书,并说明理由;
②考生丙得知他的实际成绩为430分,而考生乙告诉考生丙:“这次测试平均成绩为201分,351分以上共有57人”,请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪,并说明理由.
附:;
;
.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,对称轴为直线的抛物线与轴交于两点,其中点的坐标为,与轴交于点,作直线.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,点是直线下方抛物线上的一个动点,连结.当面积最大时,求点的坐标;
(3)如图,在(2)的条件下,过点作于点交轴于点将绕点旋转得到在旋转过程中,当点或点落在轴上(不与点重合)时,将沿射线平移得到,在平移过程中,平面内是否存在点使得四边形是菱形?若存在,请直接写出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,四边形是边长为的正方形,为等腰三角形,,平面平面,动点在棱上,无论点运动到何处时,总有.
(1)试判断平面与平面是否垂直,并证明你的结论;
(2)若点为中点,求三棱锥的体积.
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【题目】天津市某高中团委在2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.为检查该学校组织学生学习的效果,现从该校高一、高二、高三的学生中分别选取了4人,3人,3人作为代表进行问卷测试.具体要求:每位学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行作答.
(1)若从这10名学生中任选3人,求这3名学生分别来自三个年级的概率;
(2)若这10人中的某学生能答对10道题中的7道题,另外3道题回答不对,记表示该名学生答对问题的个数,求随机变量的分布列及数学期望.
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【题目】焦距为的椭圆(),如果满足“”,则称此椭圆为“等差椭圆”.
(1)如果椭圆()是“等差椭圆”,求的值;
(2)如果椭圆 ()是“等差椭圆”,过作直线与此“等差椭圆”只有一个公共点,求此直线的斜率;
(3)椭圆()是“等差椭圆”,如果焦距为12,求此“等差椭圆”的方程;
(4)对于焦距为12的“等差椭圆”,点为椭圆短轴的上顶点,为椭圆上异于点的任一点,为关于原点的对称点(也异于),直线分别与轴交于两点,判断以线段为直径的圆是否过定点?说明理由.
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