Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知

3 b

sinB

=

a

cosA

．
（I）求角A的大小；
（II）若b=1，△ABC的面积为

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（I）由a，b，sinA及sinB，利用正弦定理列出关系式，把已知的等式变形后代入，整理后利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，得到tanA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（II）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把b，sinA及已知的面积代入，求出c的值，再由b，c及cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值．

解答：解：（I）在△ABC中，由正弦定理得：

b

sinB

=

a

sinA

，
又

3 b

sinB

=

a

cosA

，即

b

sinB

=

3

3

•

a

cosA

，
∴

a

sinA

=

3

3

•

a

cosA

，即

sinA

cosA

=tanA=

3

，
又A为三角形的内角，
则A=

π

3

；
（II）∵b=1，sinA=sin

π

3

=

3

2

，△ABC的面积为

3

2

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

c=

3

2

，解得：c=2，
又cosA=cos

π

3

=

1

2

，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=1+4-2=3，
则a=

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．