Question

已知函数．
（1）求在上的最大值；
（2）若直线为曲线的切线，求实数的值；
（3）当时，设，且，若不等式恒成立，求实数的最小值．

Answer 1

（1）（2）或．   （3）的最小值为．

试题分析：
（1）利用导数可以求解函数单调性得到极值与最值,但是函数含有参数,故而需要讨论,首先对函数求定义域，求导可以发现导函数的分母恒大于0不影响导函数符号,故考虑分子大于0,小于0的解集,讨论a的范围得到区间的单调性,分析就可以得到原函数在固定区间上的最值.
（2）设出切点坐标,利用切点满足的三个条件（①切点在原函数上，坐标满足原函数方程 ②切点在切线上，坐标满足切线方程 ③原函数在切点处的导数为切线的斜率）建立关于a的方程，解方程求出a的值.
（3）由（2）的结论得到此时直线为曲线的切线,且分析原函数与切线的图像可以发现曲线在直线下方,即可以发现在区间上不等式恒成立,作差即可严格证明该不等式是成立的.利用该不等式对放缩为可求和的式子,进而求的的最值,得到的取值范围与最值.
试题解析：
（1），              2分
令，解得（负值舍去），
由，解得．
（ⅰ）当时，由，得，
在上的最大值为．              3分
（ⅱ）当时，由，得，
在上的最大值为．             4分
（ⅲ）当时，在时，，在时，，
在上的最大值为．         5分
（2）设切点为，则             6分
由，有，化简得，
即或， ①
由，有，②
由①、②解得或．                 9分
（3）当时，，
由（2）的结论直线为曲线的切线，
，点在直线上，
根据图像分析，曲线在直线下方．         10分
下面给出证明：当时，．
，
当时，，即．          12分
，
， ．
要使不等式恒成立，必须．         13分
又当时，满足条件，
且，
因此，的最小值为．            14分