(本小题满分12分)已知函数.(
)
(1)若函数有三个零点
,且
,
,求函数
的单调区间;
(2)若,
,试问:导函数
在区间(0,2)内是否有零点,并说明理由.
(3)在(Ⅱ)的条件下,若导函数的两个零点之间的距离不小于
,求
的取值范围.
(1)当时,
的单调递减区间是(1,4),单调递增区间是
。当
时,
的单调递增区间是(1,4),单调递减区间是
(4分)(2)导函数
在区间(0,2)内至少有一个零点.(3)
.
解析试题分析:(1)因为,又
,
则 ……… (1分)
因为x1,x3是方程的两根,则
,
,.即
…… (2分)
从而:,
所以.
令 解得:
… ……… (3分)
当时,
的单调递减区间是(1,4),单调递增区间是
。
当时,
的单调递增区间是(1,4),单调递减区间是
(4分)
(2)因为,
,所以
,
即.
因为,所以
,即
. (5分)
于是,
,
.
①当时,因为
,
则在区间
内至少有一个零点. (6分)
②当时,因为
,
则在区间(1,2)内至少有一零点.
故导函数在区间(0,2)内至少有一个零点. (8分)
(3)设m,n是导函数的两个零点,则
,
.
所以.
由已知,,则
,即
.
所以,即
或
. (10分)
又,
,所以
,即
.
因为,所以
.
综上分析,的取值范围是
. (12分)
考点:本题考查了导数的运用
点评:可导函数的极值点都是导数等于零的点,求出结果要带回去检验,求函数的单调区间都是转化为导数与0的大小关系进行确定,导数大于0,原函数递增,导函数小于0,则原函数递减,特别是函数含字母时,要注意字母对解不等式的影响,有时需要分类讨论
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分12分)
设函数(a>0,b,cÎR),曲线
在点P(0,f (0))处的切线方程为
.
(Ⅰ)试确定b、c的值;
(Ⅱ)是否存在实数a使得过点(0,2)可作曲线的三条不同切线,若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)已知函数
(1)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)当时,若
在区间
上的最小值为-2,求
的取值范围;
(3)若对任意,且
恒成立,求
的取值范围。
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