Question

已知函数f（x）=a-

2

2x+1

，g（x）=

1

f(x)-a

．
（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（2）若关于x的方程g（2x）-a•g（x）=0有唯一的实数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数f（x）是R上的奇函数得：f（0）=0，代入解析式列方程，再求实数a的值；
（2）由题意先求出g（x）的解析式，代入方程进行化简得：2^2x-a•2^x+1-a=0，利用换元法转化已知的方程，根据二次函数根的分布问题，列出不等式组求出实数a的取值范围．

解答： 解：（1）由题意知，f（x）是定义域为R上的奇函数，
所以f（0）=0，即a-

2

20+1

=0，解得a=1；
（2）因为f（x）=a-

2

2x+1

，所以g（x）=

1

f(x)-a

=-

2x+1

2

，
将方程g（2x）-a•g（x）=0化为：-

22x+1

2

+a×

2x+1

2

=0，
化简得2^2x-a•2^x+1-a=0，
设t=2^x，则t＞0，代入上式得t²-at+1-a=0，
因为关于x的方程g（2x）-a•g（x）=0有唯一的实数解，
所以关于t的方程t²-at+1-a=0有唯一的正实数解，
则1-a＜0或

△=a2-4(1-a)=0 - -a 2×1 ＞0

，解得a＞1或a＞2(

2

-1)，
所以实数a的取值范是（2(

2

-1)，+∞）．

点评：本题考查函数奇偶性的性质，二次函数根的分布问题，以及有关方程根的转化问题，考查换元法和转化思想．