Question

【题目】设函数f（x）＝（x2－1）lnx－x2＋2x．

（1）求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；

（2）证明：f（x）≥1．

Answer 1

【答案】（1）； （2）见解析.

【解析】

（1）f′（x）=+2xlnx﹣2x+2=2xlnx﹣x﹣+2．可得f′（2），f（2）=3ln2．利用点斜式即可得出切线方程．

（2）f（x）≥1（x2﹣1）lnx﹣（x﹣1）2≥0．当x=1时，不等式成立．所以只需证明：x＞1时，lnx≥；0＜x＜1时，lnx≤．利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出．

函数的定义域为.

，

.

.

∴曲线在点处的切线方程为

.

即.

（2）证明：

当x=1时，不等式显然成立.

所以只需证明当时，；当时，.

令，则.

，

∴函数在上是增函数.

∴当x＞1时，；当0＜x＜1时，，.