Question

2．设关于x的不等式x²-x＜2n（n+1）x，（n∈N^*）的解集中整数的个数为$\frac{1}{a_n}$，数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₁₀₀的值为$\frac{50}{101}$．

Answer 1

分析 解不等式x²-x＜2n（n+1）x得0＜x＜2n（n+1）+1，从而可得$\frac{1}{a_n}$=2n（n+1），a_n=$\frac{1}{2n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），从而求前100项和即可．

解答 解：∵x²-x＜2n（n+1）x，（n∈N^*），
∴x²-（2n（n+1）+1）x＜0，
∴0＜x＜2n（n+1）+1，
∴$\frac{1}{a_n}$=2n（n+1），
∴a_n=$\frac{1}{2n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S₁₀₀=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{100}$-$\frac{1}{101}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{101}$）=$\frac{50}{101}$；
故答案为：$\frac{50}{101}$．

点评 本题考查了二次不等式的求解及裂项求和法的应用，属于中档题．