Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=1，AA₁=2，D、E分别是BB₁、CC₁的中点，M是DE的中点．
（1）求证：平面ADE⊥平面AMA₁；
（2）试问能否在线段AC₁上找一点N，使得直线MN与平面ADA₁平行？请说明理由；
（3）求三棱锥A₁-ADE的体积．

Answer 1

分析：（1）证明平面ADE⊥平面AMA₁，需证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，由M为DE的中点，可由已知条件得到AD=AE，A₁D=A₁E，由线面垂直的判定得到DE⊥平面A₁AM，从而由面面垂直的判定得到结论；
（2）由M为DE的中点，可猜测取N为AC₁中点，连结BC₁后由三角形的中位线的性质得到直线MN与平面ADA₁平行；
（3）借助于等积法把三棱锥A₁-ADE的体积转化为三棱锥D-A₁AE的体积求解．

解答：（1）证明：如图，
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∵AB=AC=1，且D、E分别是BB₁、CC₁的中点，
∴可得AD=AE，A₁D=A₁E，又M是DE的中点，
∴AM⊥DE，A₁M⊥DE，又AM∩A₁M=M，
∴DE⊥平面A₁AM，而DE?平面ADE，∴平面ADE⊥平面AMA₁；
（2）解：N为AC₁中点时，直线MN与平面ADA₁平行．
事实上，连结BC₁，则M∈BC₁，
M是BC₁的中点，N为AC₁的中点，
∴MN∥AB，又AB?ADA₁，MN?ADA₁，
∴直线MN与平面ADA₁平行；
（3）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，∴AB⊥平面A₁AE．
即AB的长度为D到平面A₁AE的距离，而S△A1AE=

1

2

AC•AA1=

1

2

×1×2=1．
∴VA1-ADE=VD-A1AE=

1

3

S△A1AE•AB=

1

3

×1×1=

1

3

．

点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了平面与平面垂直的判定，训练了利用等积法求棱锥的体积，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．