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如图,已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴上,抛物线上的点A到F的距离为2,且A的横坐标为1.过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE,且AD、AE的斜率满足kAD•kAE=2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)直线DE是否过某定点?若过某定点,请求出该点坐标;若不过某定点,请说明理由.

【答案】分析:(1)设抛物线方程为C:y2=2px(p>0),由抛物线定义及|AF|=2即可求得p值;
(2)设D(x1,y1),E(x2,y2),DE方程为x=my+n(m≠0),直线DE方程与抛物线方程联立消x得y的方程,由韦达定理及kAD•kAE=2可得关于m,n的关系式,从而直线DE方程可用m表示,由直线方程的点斜式即可求得定点.
解答:解:(1)设抛物线方程为C:y2=2px(p>0),
由其定义知,又|AF|=2,
所以p=2,y2=4x;
(2)易知A(1,2),设D(x1,y1),E(x2,y2),
DE方程为x=my+n(m≠0),
把DE方程代入C,并整理得y2-4my-4n=0,△=16(m2+n)>0,y1+y2=4m,y1y2=-4n,
,得y1y2+2(y1+y2)=4,即-4n+2×4m=4,
所以n=2m-1,代入DE方程得:x=my+2m-1,即(y+2)m=x+1,
故直线DE过定点(-1,-2).
点评:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及抛物线方程的求解,考查直线方程的点斜式,考查学生分析解决问题的能力.
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TB
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