Question

已知函数f（x）=ln²（1+x）+2ln（1+x）-2x．
（Ⅰ）证明函数f（x）在区间（0，1）上单调递减；
（Ⅱ）若不等式(1+

1

n

)2n+a≤e²对任意的n∈N^*都成立，（其中e是自然对数的底数），求实数a的最大值．

Answer 1

分析：（I）这是一个一般的函数，所以用导数法，即证明函数f（x）在区间（0，1）上的导数恒小于零．
（II）先将不等式(1+

1

n

)2n+a≤e²对任意的n∈N^*都成立，两边取自然对数，转化为

a

2

≤

1

ln(1+ 1 n )

-n，恒成立，再用导数法求G(x)=

1

ln(x+1)

-

1

x

，x∈(0，1]最小值即可．

解答：解：（I）f′(x)=

2[ln(1+x)-x]

1+x

（1分）
设g（x）=ln（1+x）-x，x∈[0，1）
g′(x)=

1

1+x

-1≤0
函数g（x）在x∈（0，1）上单调递减，∴g（x）＜g（0）=0，
∴f'（x）＜0在x∈（0，1）上恒成立，
∴函数f（x）在x∈（0，1）上单调递减．（4分）
（II）不等式(1+

1

n

)2n+a≤e2等价于不等式(n+

a

2

)ln(1+

1

n

)≤1
由1+

1

n

＞1知，

a

2

≤

1

ln(1+ 1 n )

-n，（5分）
设G(x)=

1

ln(x+1)

-

1

x

，x∈(0，1]，（6分）
G′(x)=-

1

(1+x)ln2(1+x)

+

1

x2

=

(1+x)ln2(1+x)-x2

x2(1+x)ln2(1+x)

（7分）
设h（x）=（1+x）ln²（1+x）-x²（x∈[0，1]）（8分）
h'（x）=ln²（1+x）+2ln（1+x）-2x，
由（I）知x∈（0，1）时，h'（x）＜h'（0）=0
∴函数h（x）在x∈（0，1）上单调递减，
h（x）＜h（0）=0
∴G'（x）＜0，∴函数G（x）在x∈（0，1]上单调递减．
∴G(x)≥G(1)=

1

ln2

-1（11分）
故函数G（x）在（{0，1}]上的最小值为G（1）=

1

ln2

-1．
即

a

2

≤

1

ln2

-1，
∴a的最大值为

2

ln2

-2．（12分）

点评：本题主要通过函数的单调性及恒成立问题来考查用导数法求函数的最值问题．