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    某工厂有14m长的旧墙一面，现在准备利用这面旧墙，建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房，工程条件为：①建1m新墙的费用为a元；②修1m旧墙的费用为
    a
    4
    元；③拆去1m旧墙，用所得材料建造1m新墙的费用为
    a
    2
    元．经过讨论有两种方案：
    （Ⅰ）利用旧墙的一段xm（x＜14）为矩形厂房一面的边长；
    （Ⅱ）矩形厂房利用旧墙的一面边长为x（x≥14）．
    问：如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？（Ⅰ）（Ⅱ）两种方案哪个更好？
    分析：（Ⅰ）分别求出修旧墙费用、将剩余的旧墙拆得材料建新墙的费用及建新墙的费用，得到总费用后利用基本不等式求费用的最小值；
    （Ⅱ）求出修旧墙的费用及建新墙的费用，作和后利用函数的单调性求出费用最小值，比较大小后即可得到答案．
    解答：解：（Ⅰ）设利用旧墙的一面矩形边长为xm，则矩形的另一边长为
    126
    x
    m．
    利用旧墙的一段xm（x＜14）为矩形一面边长，则修旧墙费用为x•
    a
    4
    元．
    将剩余的旧墙拆得材料建新墙的费用为（14-x）•
    a
    2
    元，其余建新墙的费用为(2x+
    2×126
    x
    -14)•a    元．
    故总费用为：
    y=x•
    a
    4
    +
    14-x
    2
    •a+(2x+
    252
    x
    -14)•a    =7a(
    x
    4
    +
    36
    x
    -1)    ，（0＜x＜14）．
    ∴y≥7a[2
    x
    4
    •
    36
    x
    -1]=35a    ．
    当且仅当
    x
    4
    =
    36
    x
    ，即x=12m时，ymin=35a（元）；
    （Ⅱ）若利用旧墙的一面矩形边长为x≥14，则修旧墙的费用为
    a
    4
    •14=
    7
    2
    a    元，
    建新墙的费用为(2x+
    252
    x
    -14)a    元．
    故总费用为y=
    7
    2
    a+(2x+
    252
    x
    -14)a    =
    7
    2
    a+2a(x+
    126
    x
    -7)    ，（x≥14）．
    设14≤x1＜x2，则x1-x2＜0，x1x2＞196．
    则(x1+
    126
    x1
    )-(x2+
    126
    x2
    )=(x1-x2)(1-
    126
    x1x2
    )    ＜0．
    ∴函数y=x+
    126
    x
    在区间[14，+∞）上为增函数．
    故当x=14时，ymin=
    7
    2
    a+2a(14+
    126
    14
    -7)=35.5a＞35a    ．
    综上可知，采用第（Ⅰ）方案，建墙总费用最省，为35a元．
    点评：本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了简单的数学建模思想方法，训练了利用基本不等式和函数的单调性求函数的最值，是中档题．
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    a
    4
    元；=3 ③拆去1m的旧墙，用可得的建材建1m的新墙的费用为
    a
    2
    元，经讨论有两种方案：
    （1）利用旧墙一段x m（0＜x＜14）为矩形一边；
    （2）矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14；
    问如何利用旧墙建墙费用最省？试比较（1）（2）两种方案哪个更好．

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    ①利用旧墙一段x m（0＜x＜14）为矩形一边；

    ②矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14，问如何利用旧墙建墙费用最省？

    试比较①②两种方案哪个更好。

     

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        (1)建lm新墙的费用为a元；(2)修1m旧墙的费用为元；(3)拆去1m的旧墙，用可得的建材建1m的新墙的费用为元，经讨论有两种方案：

       ①利用旧墙一段xm(0<x<14)为矩形一边；

       ②矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14，问如何利用旧墙建墙费用最省?

    试比较①、②两种方案哪个更好．

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    （1）利用旧墙一段x m（0＜x＜14）为矩形一边；
    （2）矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14；
    问如何利用旧墙建墙费用最省？试比较（1）（2）两种方案哪个更好．

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