Question

15．已知函数$f（x）=\frac{sin（π+x）cos（π-x）}{{sin（\frac{π}{2}-x）cos（2π+x）}}$．
（1）化简函数f（x）的解析式；
（2）若α为第三象限角且$f（α）=\frac{1}{3}$，求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式化简函数的解析式，可得结果．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得sinα的值．

解答 解：（1）函数$f（x）=\frac{sin（π+x）cos（π-x）}{{sin（\frac{π}{2}-x）cos（2π+x）}}$=$\frac{-sinx•（-cosx）}{cosx•cosx}$=tanx．
（2）∵$f（α）=tanα=\frac{1}{3}$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{sinα}{cosα}=\frac{1}{3}}\\{{{sin}^2}α+{{cos}^2}α=1}\end{array}}\right.$，∴${sin^2}α=\frac{1}{10}$，
又α为第三象限角，所以$sinα=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．