Question

现在汽车是很给力的，汽车生产商对某款汽车的维修费进行电脑模拟实验，分别以汽车年数n和前n年累计维修费s_n（万元）为横、纵坐标，发现点（n，s_n）在函数y=ax²+bx（a≠0）的图象上，其中图象上两点A（5，1.05），B（10，4.1）．
（1）求出累计维修费s_n关于使用年数n的表达式，并求出第n年的维修费；
（2）汽车开始使用后每年需维修，按国家质量标准规定，出售后前两年作为保修时间，此时间段由产家承担维修费，保修期过后，汽车维修费有车主承担．若某人以9.18万元购买这款汽车，求年平均耗资费的最小值．（耗资费=购买费+车主承担的维修费）

Answer 1

分析：（1）根据函数y=ax²+bx（a≠0）的图象上两点A（5，1.05），B（10，4.1），可求函数的关系式，进而可得维修费S_n关于使用年数n的表达式，从而可求出第n年的维修费；
（2）根据耗资费=购买费+车主承担的维修费，可得年平均耗资费，利用基本不等式，可求其最小值．

解答：解：（1）由题意，函数y=ax²+bx（a≠0）的图象上两点A（5，1.05），B（10，4.1），
∴1.05=25a+5b，4.1=100a+10b
∴a=

1

25

，b=

1

100

∵点（n，S_n）在函数y=ax²+bx（a≠0）的图象上，
∴S_n=

1

25

n2+

1

100

n
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

2

25

n-

3

100

，n=1时，a₁=S₁=

1

20

也满足上式
∴第n年的维修费为a_n=

2

25

n-

3

100

；
（2）∵耗资费=购买费+车主承担的维修费
∴年平均耗资费为y=

9.18+a3+a4+…+an

n

=0.04n+

9

n

+0.01≥1.21（万元）
当且仅当n=15时取等号
∴年平均耗资费的最小值为1.21万元．

点评：本题考查数列与函数的综合，考查数列的运用，考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定函数关系式．