Question

（本小题满分15分）已知函数
（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，求在上的最大值和最小值；
（3）当时，求证对任意大于1的正整数，恒成立.

Answer 1

（1）；（2）
（3）

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用
（1）因为函数在给定区间x>1上单调递增，则说明导函数恒大于等于零，然后分离参数求解取值范围。
（2）把a=1,代入关系式中，求解导数，研究单调性，进而得到极值和端点值的函数值，然后比较大小得到最值。
（3）由（1）可知f(x)>f(1)恒成立，那么可知不等式关系式，然后结合放缩法得到结论。
解：（1）由已知得，
依题意得对任意恒成立，
即对任意恒成立，
而
（2）当时，，令，得，
若时，，若时，，
故是函数在区间上的唯一的极小值，也是最小值，即，
而，
由于，则
（3）当时，由（1）知在上为增函数
当，令，则，所以
即
所以
各式相加得