Question

16．已知函数f（x）=x²+4x+2，g（x）=2e^x（x+1），若x≥-2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．

Answer 1

分析 分当x=-1时，当x∈[-2，-1）时，当x∈（-1，+∞）时三种情况，讨论使f（x）≤kg（x）成立的k的取值范围，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：当x=-1时，f（x）=-1，g（x）=0，此时f（x）≤kg（x）恒成立；
当x∈[-2，-1）时，g（x）=2e^x（x+1）＜0，f（x）≤kg（x）可化为：k≤$\frac{{x}^{2}+4x+2}{2{e}^{x}（x+1）}$，
令h（x）=$\frac{{x}^{2}+4x+2}{2{e}^{x}（x+1）}$，则h′（x）=$\frac{{-x（x+2）}^{2}}{2{e}^{x}（x+1）^{2}}$≥0恒成立，
故h（x）在区间[-2，-1）上恒成立，
当x=-2时，h（x）取最小值e²，
故k≤e²，
当x∈（-1，+∞）时，g（x）=2e^x（x+1）＞0，f（x）≤kg（x）可化为：k≥$\frac{{x}^{2}+4x+2}{2{e}^{x}（x+1）}$，
令h（x）=$\frac{{x}^{2}+4x+2}{2{e}^{x}（x+1）}$，则h′（x）=$\frac{{-x（x+2）}^{2}}{2{e}^{x}（x+1）^{2}}$，
当x∈（-1，0）时，h′（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，
故当x=0时，h（x）取极小值1，
故k≥1，
综上所述：k∈[1，e²]

点评 本题考查的知识点是导数法判断函数的单调性，分类讨论思想，难度中档．