Question

过点（0，6）且与圆c₁：x²+y²+10x+10y=0切于原点的圆c₂，设圆c₁的圆心为点o₁，圆c₂的圆心为o₂
（1）把圆c₁：x²+y²+10x+10y=0化为圆的标准方程；
（2）求圆c₂的标准方程；
（3）点o₂到圆c₁上的最大的距离．

Answer 1

分析：（1）利用配方法，对圆c₁的方程整理求得其标准方程．
（2）设出圆c₂的标准方程，利用圆c₁与圆c₂相切于点o判断出o₁、o、o₂三点共线利用斜率相等求得其直线方程，设出o₂的坐标点（0，6）、点（0，0）代入方程求得a，b和半径r，则圆的方程可得．
（3）设点P（x₀，y₀）是点o₂到圆c₁上最大的距离的点把直线y=x与圆的方程联立，求得p点的坐标，最后利用两点间的距离公式求得|p0₂|．

解答：解：（1）方程x²+y²+10x+10y=0可化为（x+5）²+（y+5）²=50
（2）设圆c₂的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=r²
∵圆c₁与圆c₂相切于点o∴点o₁、o、o₂三点共线
∴点o₁、o、o₂三点共线的斜率k=

-5-0

-5-0

=1，所在直线方程为y=x
∴设点o₂的坐标为（a，a），即a=b
∴点（0，6）、点（0，0）在圆c₂上
∴（0-a）²+（6-a）²=r²
（0-a）²+（0-a）²=r²
∴a=b=3，r=3

2

∴圆c₂：（x-3）²+（y-3）²=18
（3）设点P（x₀，y₀）是点o₂到圆c₁上最大的距离的点，
则点P在点o、o₂所在直线y=x上

y0=x0 (x0+5)2+(y0+5)2=50

解得

x0=0 y0=0

（舍去）

x0=-10 y0=-10

∴点P（-10，-10）∴|po2|=

(-10-3)2+(-10-3)2

=13

2

点评：本题主要考查了圆的标准方程，圆与圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系．第3问也可采用数形结合的方法，较直观的解决问题．