Question

9．设S_n为数列{a_n}的前n项和，对任意的n∈N₊，都有S_n=（m+1）-ma_n（m为正常数）．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）数列{b_n}满足：b₁=2a₁，b_n=$\frac{{b}_{n-1}}{1+{b}_{n-1}}$（n≥2，n∈N₊），求数列{b_n}的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求数列{$\frac{{2}^{n+1}}{{b}_{n}}$cos（n+1）π}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过S_n=（m+1）-ma_n与S_n+1=（m+1）-ma_n+1作差、计算可知数列{a_n}是以1为首项、$\frac{m}{m+1}$为公比的等比数列；
（2）通过（1）可知b₁=2a₁=2，对等式b_n=$\frac{{b}_{n-1}}{1+{b}_{n-1}}$两边同时取倒数可知数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项、1为公差的等差数列，计算即得结论；
（3）通过（2）可知$\frac{{2}^{n+1}}{{b}_{n}}$=（2n-1）2ⁿ，进而可知$\frac{{2}^{n+1}}{{b}_{n}}$cos（n+1）π=（-1）^n-1（2n-1）2ⁿ，利用错位相减法计算可知T_2n=1•2+3•2²+5•2³+7•2⁴+…+（4n-3）•2^2n-1+（4n-1）•2²ⁿ-2[3•2²+7•2⁴+…+（4n-1）•2²ⁿ]=-$\frac{2}{9}$-$\frac{12n-1}{9}$•2²ⁿ⁺¹，从而T_2n-1=T_2n-（-1）^2n-1（4n-1）2²ⁿ=-$\frac{2}{9}$+$\frac{12n-7}{9}$•2²ⁿ．

解答 （1）证明：∵S_n=（m+1）-ma_n，
∴S_n+1=（m+1）-ma_n+1，
两式相减得：a_n+1=ma_n-ma_m+1，
整理得：a_n+1=$\frac{m}{m+1}$•a_n，
又∵a₁=m+1-ma₁，即a₁=1，
∴数列{a_n}是以1为首项、$\frac{m}{m+1}$为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可知b₁=2a₁=2，
∵b_n=$\frac{{b}_{n-1}}{1+{b}_{n-1}}$，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{b}_{n-1}}$+1，
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项、1为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+n-1=$\frac{2n-1}{2}$，
∴数列{b_n}的通项公式b_n=$\frac{2}{2n-1}$；
（3）解：由（2）可知$\frac{{2}^{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{\frac{2}{2n-1}}$=（2n-1）2ⁿ，
∵cos（n+1）π=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n为奇数}\\{-1，}&{n为偶数}\end{array}\right.$，
∴$\frac{{2}^{n+1}}{{b}_{n}}$cos（n+1）π=（-1）^n-1（2n-1）2ⁿ，
∴T_2n=1•2-3•2²+5•2³-7•2⁴+…+（4n-3）•2^2n-1-（4n-1）•2²ⁿ
=1•2+3•2²+5•2³+7•2⁴+…+（4n-3）•2^2n-1+（4n-1）•2²ⁿ-2[3•2²+7•2⁴+…+（4n-1）•2²ⁿ]，
记P_2n=1•2+3•2²+5•2³+7•2⁴+…+（4n-3）•2^2n-1+（4n-1）•2²ⁿ，
则2P_2n=1•2²+3•2³+5•2⁴+7•2⁵+…+（4n-3）•2²ⁿ+（4n-1）•2²ⁿ⁺¹，
∴-P_2n=2+2（2²+2³+2⁴+…+2²ⁿ）-（4n-1）•2²ⁿ⁺¹
=2+2•$\frac{4（1-{2}^{2n-1}）}{1-2}$-（4n-1）•2²ⁿ⁺¹
=-6-（4n-3）•2²ⁿ⁺¹，
∴P_2n=6+（4n-3）•2²ⁿ⁺¹，
记Q_2n=3•2²+7•2⁴+…+（4n-1）•2²ⁿ，
则4Q_2n=3•2⁴+7•2⁶+…+（4n-1）•2²ⁿ⁺²，
∴-3Q_2n=3•2²+4（2⁴+2⁶+…+2²ⁿ）-（4n-1）•2²ⁿ⁺²，
=12+4•$\frac{{2}^{4}（1-{2}^{2n-2}）}{1-{2}^{2}}$-（4n-1）•2²ⁿ⁺²
=-$\frac{28}{3}$-（4n-$\frac{7}{3}$）•2²ⁿ⁺²，
∴Q_2n=$\frac{28}{9}$+$\frac{12n-7}{9}$•2²ⁿ⁺²，
∴T_2n=P_2n-2Q_2n
=6+（4n-3）•2²ⁿ⁺¹-$\frac{28}{9}$-$\frac{12n-7}{9}$•2²ⁿ⁺²
=-$\frac{2}{9}$-$\frac{12n-1}{9}$•2²ⁿ⁺¹，
∴T_2n-1=T_2n-（-1）^2n-1（4n-1）2²ⁿ
=-$\frac{2}{9}$-$\frac{12n-1}{9}$•2²ⁿ⁺¹+（4n-1）2²ⁿ
=-$\frac{2}{9}$+$\frac{12n-7}{9}$•2²ⁿ，
综上所述，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{9}+\frac{6n-1}{9}•{2}^{n+1}，}&{n为奇数}\\{-\frac{2}{9}-\frac{6n-1}{9}•{2}^{n+1}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．