Question

（2012•马鞍山二模）定义在R上的函数f（x）满足f(x+

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2

)+f(x)=0，且函数y=f(x-

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)为奇函数，给出下列命题：①函数f（x）的最小正周期是

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2

；②函数y=f（x）的图象关于点(-

3

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，0)对称；③函数y=f（x）的图象关于y轴对称．其中真命题的个数是（　　）

A．3

B．2

C．1

D．0

Answer 1

分析：题目中条件：f（x+

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2

）=-f（x）可得f（x+3）=f（x）知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，从而可判断函数的对称轴．

解答：解：①：由题意可得f（x+3）=-f（x+

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）=f（x）则函数f（x）是周期函数且其周期为3，故①错误
②：由y=f（x-

3

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）是奇函数可得其图象关于原点（0，0）对称，由y=f（x-

3

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）向左平移

3

4

个单位长度可得y=f（x）的图象，则函数f（x）的图象关于点（-

3

4

，0）对称，故②正确
③：由②知，对于任意的x∈R，都有f（-

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-x）=-f（ -

3

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+x），用

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4

+x代换x，可得：f（-

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-x）+f（x）=0
∴f（-

3

2

-x）=-f（x）=f（x+

3

2

）对于任意的x∈R都成立．令t=

3

2

+x，则f（-t）=f（t），则可得函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，故③正确
故选：B．

点评：本题考查函数的奇偶性、周期性对称性等函数知识的综合应用，解答本题的关键是熟练掌握函数的基本性质及一些常见结论的变形．