Question

1．已知曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{12}{4co{s}^{2}θ+12si{n}^{2}θ}$，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数，t∈R）．
（Ⅰ）求直线l和曲线c的普通方程；
（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析 （I）曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{12}{4co{s}^{2}θ+12si{n}^{2}θ}$，化为4（ρcosθ）²+12（ρsinθ）²=12，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出直角坐标方程．由直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数，t∈R），消去参数t可得普通方程．
（II）设与直线x=2+y平行且与椭圆x²+3y²=3相切的直线方程为x=m+y．把x=m+y代入曲线方程：x²+3y²=3．可得：4y²+2my+m²-3=0，
令△=0，解得m，再利用平行线直角的距离公式即可得出．

解答 解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{12}{4co{s}^{2}θ+12si{n}^{2}θ}$，化为4（ρcosθ）²+12（ρsinθ）²=12，
∴直角坐标方程为：x²+3y²=3．
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数，t∈R），消去参数t可得：x=2+y．
（II）设与直线x=2+y平行且与椭圆x²+3y²=3相切的直线方程为x=m+y．
把x=m+y代入曲线方程：x²+3y²=3．可得：4y²+2my+m²-3=0，
令△=4m²+16（m²-3）=0，化为m²=$\frac{12}{5}$．
解得m=±$\frac{2\sqrt{15}}{5}$．
取切线y=x+$\frac{2\sqrt{15}}{5}$．
与直线y=x-2的距离d=$\frac{|\frac{2\sqrt{15}}{5}+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{30}+5\sqrt{2}}{5}$，即为曲线C上的点到直线l的距离的最大值．

点评 本题考查了极坐标方程与参数方程化为普通方程、直线与椭圆相切问题、平行线直角的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．