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【题目】已知椭圆C: + =1(a>b>0)的焦距为4 ,且椭圆C过点(2 ,1). (Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆C与y轴负半轴的交点为B,如果直线y=kx+1(k≠0)交椭圆C于不同的两点E、F,且B,E,F构成以EF为底边,B为顶点的等腰三角形,判断直线EF与圆x2+y2= 的位置关系.

【答案】解:(I)由题可知c=2 ,a2﹣b2=c2 , 将点(2 ,1)代入椭圆方程可得 + =1,解得a=4,b=2,
则椭圆C方程是 + =1;
(II)设交点为E(x1 , y1),F(x2 , y2),EF的中点M的坐标为(xM , yM),
,得(1+4k2)x2+8kx﹣12=0,
由题可知△=64k2﹣4(1+4k2)(﹣12)>0恒成立,
x1+x2=﹣ ,x1x2=﹣
可得xM= =﹣ ,yM= =1+ =
因为△BEF是以EF为底边,B为顶点的等腰角形,所以EF⊥BM.
因此BM的斜率kBM=﹣ ,又点B的坐标为(0,﹣2),
所以kBM= =﹣ ,即﹣ =﹣
解得k=± ,故EF的直线方程为± x﹣4y+4=0,
又因为圆x2+y2= 的圆心(0,0)到直线EF的距离d= =
所以直线EF与圆x2+y2= 相离
【解析】(I)由题可知c=2 ,又a2﹣b2=c2 , 将点(2 ,1)代入椭圆方程,解方程可得a,b,进而得到椭圆方程;(II)设交点为E(x1 , y1),F(x2 , y2),EF的中点M的坐标为(xM , yM),联立直线方程和椭圆方程,运用韦达定理和中点坐标公式,可得M的坐标,由两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,可得直线EF的方程,再求圆心到直线的距离,与班级比较,即可得到所求位置关系.

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A.1
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