Question

（2012•浦东新区三模）已知函数y=f（x），x∈D，y∈A；g（x）=x²-（4

7

tanθ）x+1，
（1）当f（x）=sin（x+φ）为偶函数时，求φ的值．
（2）当f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

sin（2x+

π

3

）时，g（x）在A上是单调递增函数，求θ的取值范围．
（3）当f（x）=a₁sin（ωx+φ₁）+a₂sin（ωx+φ₂）+…+a_nsin（ωx+φ_n）时，（其中a_i∈R，i=1，2，3…n，ω＞0），若f²（0）+f²（

π

2ω

）≠0，且函数f（x）的图象关于点（

π

2

，0）对称，在x=π处取得最小值，试探讨ω应该满足的条件．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）=sin（x+φ）为偶函数，可得sin（x+φ）=sin（-x+φ），化简为cosφ=0，可得φ的值．
（2）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为

7

sin（2x+α）∈[-

7

，

7

]，可得A，再根据g（x）的解析式结合题意可得tanθ≤-

1

2

，由此可得θ的取值范围．
（3）由于 f（x）的解析式以及f²（0）+f²（

π

2ω

）≠0，可得f（x）=msinωx+ncosωx=

m2+n2

sin（ωx+φ），且 m²+n²≠0．由条件可得ω=4n-3，n∈N^* ①，而且
ω=k，k∈N^* ②，结合①②可得ω 满足的条件．

解答：解：（1）因为函数f（x）=sin（x+φ）为偶函数，所以，sin（x+φ）=sin（-x+φ），
化简为 2sinxcosφ=0，∴cosφ=0，所以φ=kπ+

π

2

，k∈z．
（2）∵函数f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

sin（2x+

π

3

）=

3

sin2x+2cos2x=

7

sin（2x+α）∈[-

7

，

7

]，
其中，sinα=

2

7

，cosα=

3

7

，所以 A=[-

7

，

7

]…（8分）
g（x）=x²-（4

7

tanθ）x+1=(x-2

7

tanθ)2+1-28tan²θ，
由题意可知：2

7

tanθ≤-

7

，tanθ≤-

1

2

，∴kπ-

π

2

≤θ≤kπ-arctan

1

2

，k∈z，
即θ的取值范围是[kπ-

π

2

，kπ-arctan

1

2

]，k∈z．（10）
（3）由于 f（x）=a₁sin（ωx+φ₁）+a₂sin（ωx+φ₂）+…+a_nsin（ωx+φ_n）
=a₁ （sinωxcosφ₁ +cosωxsinφ₁）+a₂ （sinωxcosφ₂ +cosωxsinφ₂）+…+a_n （sinωxcosφ_n+cosωxsinφ_n ）
=sinωx （a₁•cosφ₁+a₂•cosφ₂+…+a_n•cosφ_n）
+cosωx（a₁•sinφ₁+a₂•sinφ₂+…+a_n•sinφ_n）．
∵f²（0）+f²（

π

2ω

）≠0，∴a₁•cosφ₁+a₂•cosφ₂+…+a_n•cosφ_n =0
与a₁•sinφ₁+a₂•sinφ₂+…+a_n•sinφ_n =0 不能同时成立．
不妨设 a₁•cosφ₁+a₂•cosφ₂+…+a_n•cosφ_n =m，a₁•sinφ₁+a₂•sinφ₂+…+a_n•sinφ_n =n，
则f（x）=msinωx+ncosωx=

m2+n2

=sin（ωx+φ），且 m²+n²≠0．
由于函数f（x）的图象关于点（

π

2

，0）对称，在x=π处取得最小值，∴（4n-3）

T

4

=π-

π

2

，n∈N^*．
（4n-3）

π

2ω

=

π

2

，∴ω=4n-3，n∈N^*  ①．
再由函数f（x）的图象关于点（

π

2

，0）对称可得 sin（

π

2

ω+φ₀）=0，故

π

2

ω+φ₀=kπ，k∈z．
∴

π

2

（4m-3）+φ₀=kπ，φ₀=kπ+

3π

2

，k∈z．
又函数f（x）在x=π处取得最小值，∴sin（ωπ+φ₀）=-1，∴ωπ+kπ+

3π

2

=2k′π+

3π

2

，k′∈z．
∴ω=k，k∈N^* ②．
由①②可得，ω=4n-3，n∈N^*．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换和化简求值，复合三角函数的单调性和对称性，属于中档题．