Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数．
（1）判断并证明函数f（x）在（-∞，0）上的单调性；
（2）如果f（

1

2

）=1，解不等式-1＜f（2x-1）≤0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,其他不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设出（-∞，0）内的任意两个实数，转化为[0，+∞）内，由f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数证出f（x）在（-∞，0）上为增函数；
（2）由f（0）=0，-1=f（-

1

2

），把不等式-1＜f（2x-1）≤0化为f（-

1

2

）＜f（2x-1）≤f（0），然后利用函数为增函数去掉“f”后得答案．

解答： 解：（1）f（x）在（-∞，0）上为增函数．
证明：设x₁，x₂为（-∞，0）内的任意两个实数，且x₁-x₂，
∵f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴f（-x₁）＞f（-x₂），
又是定义在R上的奇函数，则-f（x₁）＞-f（x₂），
∴f（x₁）＜f（x₂），则f（x）在（-∞，0）上为增函数；
（2）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，
由f（

1

2

）=1，得-1=f（-

1

2

），
∴-1＜f（2x-1）≤0化为f（-

1

2

）＜f（2x-1）≤f（0），
即-

1

2

＜2x-1≤0，解得：

1

4

＜x≤

1

2

．
∴不等式-1＜f（2x-1）≤0的解集为(

1

4

，

1

2

]．

点评：本题考查了函数单调性和奇偶性的性质，考查了不等式的解法，体现了数学转化思想方法，是中档题．