Question

已知函数f(x)=

2x+1

x+1

．
（Ⅰ） 证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ） 求该函数在区间[1，4]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用函数的单调性定义证明f（x）在[1，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）由f（x）在[1，+∞）上是增函数，直接得f（x）在区间[1，4]上的最大值与最小值．

解答：解：（Ⅰ） 任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
则x₂-x₁＞0，f（x₂）-f（x₁）=

2x2+1

x2+1

-

2x1+1

x1+1

=

x2-x1

(x1+1)(x2+1)

；
∵x₂-x₁＞0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f（x）在[1，4]上是增函数．
∴最大值为f（4）=

2×4+1

4+1

=

9

5

，
最小值为f（1）=

2×1+1

1+1

=

3

2

．

点评：本题考查了用定义证明函数的单调性以及利用单调性求函数在闭区间上的最值问题，是基础题．