Question

4．以矩形ABCD的边AB所在直线为x轴，矩形的对称轴为y轴．建立直角坐标系xOy．已知AB=2BC=4，抛物线y=ax²+c的顶点为矩形ABCD的中心，且经过C，D两点．
（1）求此抛物线的解析式：
（2）如图2，直线y=kx+2（k＞0）与抛物线y=ax²+c交于E，F两点，与y轴交于P点，且PF=2PE，点Q为直线EF下方的抛物线上一动点，当△QEF面积最大时，求Q点坐标；
（3）如图3，M为y轴上一点，S为抛物线上一点，SN⊥x轴于N，且无论S在抛物线的什么位置，总有PM=PN，作∠MSN的平分线交y轴于G，当G点坐标为（0，-1），求S点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据已知求出矩形的中心及抛物线的顶点坐标，设出解析式的顶点式，再由C点坐标，可得答案；
（2）联立直线与抛物线方程，由PF=2PE，可得两个交点横坐标的关系，进而求出直线的斜率，平移直线与抛物线相切时，△QEF面积最大，进而得到答案；
（3）抛物线的焦点坐标为：（2，0），准线为x轴，由M为y轴上一点，S为抛物线上一点，SN⊥x轴于N，且无论S在抛物线的什么位置，总有SM=PN，可得：M即为抛物线的焦点（0，2），进而由斜率公式和二倍角的正切公式，求出S的坐标，可得答案．

解答 解：（1）∵AB=2BC=4，
故矩形中心的坐标为（0，1），即抛物线的顶点坐标为（0，1），
设抛物线的解析式为：y=ax²+1，（a＞0），
此时C点坐标为（2，2），
代入得：a=$\frac{1}{4}$，
故抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{4}$x²+1，
（2）将y=kx+2代入y=$\frac{1}{4}$x²+1得：$\frac{1}{4}$x²-kx-1=0，
解得：x=$2k-2\sqrt{{k}^{2}+1}$，或x=$2k+2\sqrt{{k}^{2}+1}$，
∵PF=2PE，
∴2（$2k-2\sqrt{{k}^{2}+1}$）+$2k+2\sqrt{{k}^{2}+1}$=0，
解得：k=$\frac{\sqrt{2}}{4}$
设y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x+b与y=$\frac{1}{4}$x²+1相切，
即$\frac{1}{4}$x²-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x-b+1=0的△=$\frac{1}{8}$+b-1=0，
解得：b=$\frac{7}{8}$，
此时：x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y=$\frac{9}{8}$，
故当△QEF面积最大时，Q点坐标为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{9}{8}$），
（3）∵抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{4}$x²+1，
∴抛物线的方程可化为：x²=4（y-1），
抛物线的焦点坐标为：（2，0），准线为x轴，
由M为y轴上一点，S为抛物线上一点，SN⊥x轴于N，且无论S在抛物线的什么位置，总有SM=PN，
可得：M即为抛物线的焦点（0，2），
∠MSN的平分线交y轴于G，
则设直线SG的斜率为k，则直线MS的斜率为：$\frac{{k}^{2}-1}{2k}$，
设S点的坐标为：（x，$\frac{1}{4}$x²+1），
则k=$\frac{\frac{1}{4}{x}^{2}+2}{x}$，$\frac{{k}^{2}-1}{2k}$=$\frac{\frac{1}{4}{x}^{2}-1}{x}$，
解得：x=2$\sqrt{6}$，$\frac{1}{4}$x²+1=7，
故S点的坐标为（2$\sqrt{6}$，7）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．