Question

14．已知圆C过点A（1，4），B（3，2），且圆心C在直线x+y-3=0上．
（1）求圆C的方程；
（2）若点P（x，y）是圆C上的动点，z=x+y，求z的最大值．

Answer 1

分析 （1）设圆心坐标为（a，b），则$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）^2}+{（b-3）^2}={r^2}\\{（a-3）^2}+{（b-2）^2}={r^2}\\ a+b-3=0\end{array}\right.$，即可求圆C的方程；
（2）令z=x+y，即y=-x+z，当这条直线与圆相切时，它在y轴上的截距最大或最小．

解答 解：（1）设圆心坐标为（a，b），则$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）^2}+{（b-3）^2}={r^2}\\{（a-3）^2}+{（b-2）^2}={r^2}\\ a+b-3=0\end{array}\right.$
解得：a=1，b=2，r=2，故圆的方程为：（x-1）²+（y-2）²=4…（6分）
（2）令z=x+y，即y=-x+z，当这条直线与圆相切时，它在y轴上的截距最大或最小，
圆心到直线的距离d=$\frac{|1+2-z|}{\sqrt{2}}$=2，z=3±2$\sqrt{2}$，∴最大值为：$3+2\sqrt{2}$…（12分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，求出圆的方程是关键．