【题目】(12分)已知椭圆的离心率为,椭圆C的长轴长为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线与椭圆C交于A,B两点,是否存在实数k使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在实数使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.
【解析】
试题本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用椭圆的离心率和长轴长列出方程,解出a和c的值,再利用计算b的值,从而得到椭圆的标准方程;第二问,将直线与椭圆联立,消参,利用韦达定理,得到、,由于以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O,所以,即,代入和,解出k的值.
试题解析:(1)设椭圆的焦半距为c,则由题设,得,
解得,所以,
故所求椭圆C的方程为.
(2)存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.
理由如下:
设点,,
将直线的方程代入,
并整理,得.(*)
则,.
因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O,
所以,即.
又,
于是,解得,
经检验知:此时(*)式的Δ>0,符合题意.
所以当时,以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AB∥CD,AD=DC= AB= ,平面PBC⊥平面ABCD.
(1)求证:AC⊥PB;
(2)若PB=PC= ,问在侧棱PB上是否存在一点M,使得二面角M﹣AD﹣B的余弦值为 ?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,
若函数有唯一零点,则以下四个命题中正确的是______(填写正确序号)
①. ②.函数在处的切线与直线平行
③.函数在上的最大值为
④.函数在 上单调递减
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】连续抛掷同一颗均匀的骰子,令第i次得到的点数为ai , 若存在正整数k,使a1+a2+…+ak=6,则称k为你的幸运数字.
(1)求你的幸运数字为3的概率;
(2)若k=1,则你的得分为5分;若k=2,则你的得分为3分;若k=3,则你的得分为1分;若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记0分,求得分X的分布列和数学期望.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数 .
(1)用含a的式子表示b;
(2)令F(x)= ,其图象上任意一点P(x0 , y0)处切线的斜率 恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若a=2,试求f(x)在区间 上的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】抛物线的焦点为上任一点在轴上的射影为中点为,.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)直线过与从下到上依次交于,与交于,直线过与从下到上依次交于,与交于,,的斜率之积为,设的面积分别为,是否存在使得成等比数列?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若f(x)=x﹣1﹣alnx,g(x)= ,a<0,且对任意x1 , x2∈[3,4](x1≠x2),|f(x1)﹣f(x2)|<| ﹣ |的恒成立,则实数a的取值范围为 .
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com