Question

3．数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-a₁，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由S_n=2a_n-a₁，利用递推可得：a_n=2a_n-1．由a₁，a₂+1，a₃成等差数列，2（a₂+1）=a₁+a₃，代入解出即可．
（II）a_n+1=2ⁿ⁺¹，可得S_n，b_n=$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（I）由S_n=2a_n-a₁，
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-a₁，
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
化为a_n=2a_n-1．
由a₁，a₂+1，a₃成等差数列．
∴2（a₂+1）=a₁+a₃，
∴2（2a₁+1）=a₁+4a₁，
解得a₁=2．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴a_n=2ⁿ．
（II）a_n+1=2ⁿ⁺¹，S_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2ⁿ⁺¹-2，S_n+1=2ⁿ⁺²-2．
b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{（{2}^{n+1}-2）（{2}^{n+2}-2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{2-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$．

点评 本题考查了递推关系的应用、“累加求和”方法、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．