Question

已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间，并判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）若不等式f（x²+2）≤f（2ax-a）的解集是A={x|x²-5x+4≤0}的子集，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ），
当x∈[0，+∞）时，f′（x）≥0
∴f（x）在[0，+∞）上是单调增函数，在（-∞，0）上是单调减函数
由∴f（x）为R上的偶函数
（Ⅱ）由x²+2＞0，f（2ax-a）=f（|2ax-a|）
从而不等式等价于：x²+2≤|a||2x-1|
又不等式x²-5x+4≤0的解集为A=[1，4]的子集，
故1≤x≤4，∴2x-1＞0
即x²+2-2|a|x+|a|≤0
1⁰当△＜0时，不等式的解集为空集，满足条件，即|a|∈（-1，2）?|a|＜2成立；
2⁰当△=0时，|a|=2，此时x²-4x+4≤0?x=2∈A成立；
3⁰当△＞0时，|a|＞2，
设方程x²+2-2|a|x+|a|=0的两根为x₁，x₂，则
综上，
分析：（Ⅰ）求出函数的导数，令导数大于0，解出函数的递增区间，令导数小于0，求出函数的递减区间，此类函数的奇偶性可用等价形式证明，本题可以证明f（x）-f（-x）=0，来得出函数是偶函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）结论，不等式f（x²+2）≤f（2ax-a）等价于x²+2≤|a||2x-1|，再根据A=[1，4]，将不等式转化为x²+2-2|a|x+|a|≤0，若此不等式解集是空集，符合题意，若不是空集，则此不等式相应方程的根必在区间[1，4]内，由二次函数的性质转化为不等式，求解参数的范围．
点评：本题利用导数研究函数的单调性，解题的关键是理解并掌握函数的导数的符号与函数的单调性的关系，此类题一般有两类题型，一类是利用导数符号得出单调性，一类是由单调性得出导数的符号，本题属于第一种类型．本题的解题重心在第二小问上，利用单调性解抽象不等式是函数中的一类难题，如本题求解时要分为三类研究，用到了分类讨论的思想，此类题常因考虑不周详而导致解题失败，做题时要考虑完善．