【题目】如图,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,E为DD1中点.
(1)求证:BD1∥平面ACE;
(2)求证:BD1⊥AC.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)设AC与BD交于点O,连接OE,根据菱形的性质和三角形的中位线定理可得OE∥D1B,再由线面平行的判定定理可得证;
(2)由菱形的性质可得AC⊥BD,再由线面垂直的性质得DD1⊥AC,根据线面垂直的判定和性质可得证.
(1)设AC与BD交于点O,连接OE,∵底面ABCD是菱形,∴O为DB中点,又因为E是DD1的中点,∴OE∥D1B,
∵OE面AEC,BD1平面AEC,∴BD1∥平面ACE.
(2)∵底面ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∵DD1⊥底面ABCD,∴DD1⊥AC,且DB∩DD1=D,
∴AC⊥平面BDB1D1.∵BD1平面BDD1B1,∴AC⊥BD1.
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【题目】(1)经统计,在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应概率如下:
排队人数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5人及5人以上 |
概率 |
求至少3人排队等候的概率是多少?
(2)在区间上随机取两个数m,n,求关于x的一元二次方程有实根的概率.
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【题目】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y=3x+1,y=f(x)在x=-2处有极值.
(1)求f(x)的解析式.
(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值.
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【题目】若数列、满足 (N*),则称为数列的“偏差数列”.
(1)若为常数列,且为的“偏差数列”,试判断是否一定为等差数列,并说明理由;
(2)若无穷数列是各项均为正整数的等比数列,且,为数列的“偏差数列”,求的值;
(3)设,为数列的“偏差数列”,,且,若对任意恒成立,求实数M的最小值.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面是菱形,点在线段PC上,且三棱锥的体积是四棱锥的体积的,,平面.
(1)若是的中点,证明:直线∥平面;
(2)求二面角的正弦值.
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【题目】在平面直角坐标系中,以为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为为参数,直线与曲线分别交于两点.
(1)若点的极坐标为,求的值;
(2)求曲线的内接矩形周长的最大值.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点M,N分别为线段A1B,B1C的中点.
(1)求证:MN∥平面AA1C1C;
(2)若∠ABC=90°,AB=BC=2,AA1=3,求点B1到面A1BC的距离.
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【题目】某年级100名学生期中考试数学成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求图中a的值,并根据频率分布直方图估计这100名学生数学成绩的平均分;
(2)从[70,80)和[80,90)分数段内采用分层抽样的方法抽取5名学生,求在这两个分数段各抽取的人数;
(3)现从第(2)问中抽取的5名同学中任选2名参加某项公益活动,求选出的两名同学均来自[70,80)分数段内的概率.
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