Question

已知直线l过椭圆E：x²+2y²=2的右焦点F，且与E相交于P，Q两点．
（1）设

OR

=

1

2

(

OP

+

OQ

)（O为原点），求点R的轨迹方程；
（2）若直线l的倾斜角为60⁰，求

1

|PF|

+

1

|QF|

的值．

Answer 1

分析：（1）可设直线l的方程为y=k（x-1），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量关系式即可求得R的轨迹方程；
（2）设椭圆另一个焦点为F'，在△PF'F中由余弦定理m的值，同理，在△QF'F，设|QF|=n，也由余弦定理得n的值，最后即可求得

1

|PF|

+

1

|QF|

的值．

解答：解：（1）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（x，y）

OR

=

1

2

(

OP

+

OQ

)?(x，y)=

1

2

[(x1，y1)+(x2，y2)]?

x= x1+x2 2 y= y1+y2 2

由x2+2y2=2?

x2

2

+y2=1，易得右焦点F（1，0）
当直线l⊥x轴时，直线l的方程是：x=1，根据对称性可知R（1，0）
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=k（x-1）
代入E有（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0△=8k²+8＞0；x1+x2=

4k2

2k2+1

（5分）
于是R（x，y）：x=

x1+x2

2

=

2k2

2k2+1

；　y=k（x-1）
消去参数k得x²+2y²-x=0而R（1，0）也适上式，故R的轨迹方程是x²+2y²-x=0
（2）设椭圆另一个焦点为F'，
在△PF'F中∠PFF'=120⁰，|F'F|=2，设|PF|=m，则|PF′|=2

2

-m
由余弦定理得(2

2

-m)2=22+m2-2•2•m•cos1200?m=

2

2 2 +1

同理，在△QF'F，设|QF|=n，则|QF′|=2

2

-m
也由余弦定理得(2

2

-n)2=22+n2-2•2•n•cos600?n=

2

2 2 -1

于是

1

|PF|

+

1

|QF|

=

1

m

+

1

n

=

2 2 +1

2

+

2 2 -1

2

=2

2

点评：本题考查椭圆的长轴和短轴的长，焦点的坐标的求法、轨迹方程、直线与圆锥曲线的综合问题．解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．