Question

【题目】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=（x+1）ex则对任意的m∈R，函数F（x）=f（f（x））﹣m的零点个数至多有（　　）
A.3个
B.4个
C.6个
D.9个

Answer 1

【答案】A
【解析】解：当x＜0时，f（x）=（x+1）ex，可得f′（x）=（x+2）ex，可知x∈（﹣∞，﹣2），函数是减函数，x∈（﹣2，0）函数是增函数，

f（﹣2）= ，f（﹣1）=0，且x→0时，f（x）→1，又f（x）是定义在R上的奇函数，f（0）=0，而x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）＜0，

所以函数的图象如图：令t=f（x）则f（t）=m，

由图象可知：当t∈（﹣1，1）时，方程f（x）=t至多3个根，当t（﹣1，1）时，方程没有实数根，

而对于任意m∈R，方程f（t）=m至多有一个根，t∈（﹣1，1），

从而函数F（x）=f（f（x））﹣m的零点个数至多有3个．

故答案为：A．

当x＜0时，f（x）=（x+1）ex，可得f′（x）=（x+2）ex可知x∈（﹣∞，﹣2），函数是减函数，x∈（﹣2，0）函数是增函数，并且f（﹣2）= ，f（﹣1）=0，且x→0时，f（x）→1，根据f（x）为奇函数，其图像关于原点对称，根据分析结果，作出f（x）的大致图象，数形结合不难得出零点最多为3个.