【题目】如图,在直角梯形ABCD中AD∥BC,∠ADC=90°,平面ABCD外一点P在平面ABCD内的射影Q恰在边AD上, PA=AD=2 BC=2,CD=.
(1)若平面PQB⊥平面PAD,求证:Q为线段AD中点;
(2)在(1)的条件下,若M在线段PC上,且PA∥平面BMQ,求点M到平面PAB的距离.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】(1)证明:∵P在平面ABCD内的射影Q恰在边AD上,
∴PQ⊥平面ABCD,
∵BQ平面ABCD,∴PQ⊥BQ,(2分)
∵PQB⊥平面PAD,且平面PQB∩平面PAD =PQ,
∴BQ⊥平面PAD.
∵AD平面PAD,∴BQ⊥AD.(4分)
∵∠ADC=90°,∴CD∥BQ,
又AD∥BC,∴四边形BCDQ为平行四边形,
∴BC=QD=1,AQ=AD-QD=2-1=1,
∴AQ=QD,即Q为线段AD中点.(6分)
(2)连接AC与BQ交于点N,则N为AC中点,连接,
∵PA∥平面BMQ,∴PA∥MN,
∴M为PC中点,(8分)
∴点M到平面PAB的距离是点C到平面PAB的距离的,
在三棱锥中,高
,底面积为
,
∴三棱锥的体积
,(10分)
又△PAB中,PA=AB=2,PB=,
∴△PAB的面积为.
设点M到平面PAB的距离为d,由可得
,则
,
∴点M到平面PAB的距离为.(12分)
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【题目】如图,过椭圆:
的左右焦点
分别作直线
,
交椭圆于
与
,且
.
(1)求证:当直线的斜率
与直线
的斜率
都存在时,
为定值;
(2)求四边形面积的最大值.
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【题目】已知函数f(x)=loga(1﹣x)+loga(x+3),其中0<a<1.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若函数f(x)的最小值为﹣4,求a的值.
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【题目】已知某商品的进货单价为1元/件,商户甲往年以单价2元/件销售该商品时,年销量为1万件.今年拟下调销售单价以提高销量增加收益.据估算,若今年的实际销售单价为元/件(
),则新增的年销量
(万件).
(1)写出今年商户甲的收益(单位:万元)与
的函数关系式;
(2)商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略,是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)?请说明理由.
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【题目】甲、乙两企业生产同一种型号零件,按规定该型号零件的质量指标值落在内为优质品.从两个企业生产的零件中各随机抽出了500件,测量这些零件的质量指标值,得结果如下表:
甲企业:
乙企业:
(1)已知甲企业的500件零件质量指标值的样本方差,该企业生产的零件质量指标值
服从正态分布
,其中
近似为质量指标值的样本平均数
(注:求
时,同一组数据用该区间的中点值作代表),
近似为样本方差
,试根据该企业的抽样数据,估计所生产的零件中,质量指标值不低于71.92的产品的概率.(精确到0.001)
(2)由以上统计数据完成下面列联表,并问能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.
附注:
参考数据: ,
参考公式: ,
,
.
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】在某校歌咏比赛中,甲班、乙班、丙班、丁班均可从、
、
、
四首不同曲目中任选一首.
(1)求甲、乙两班选择不同曲目的概率;
(2)设这四个班级总共选取了首曲目,求
的分布列及数学期望
.
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【题目】已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点.
(1)求圆A的方程;
(2)当|MN|=2时,求直线l的方程.
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【题目】如图所示,在多面体中,四边形
与四边形
均为边长为2的正方形,
为等腰直角三角形,
,且平面
平面
,平面
平面
.
(1)求证:平面平面
;
(2)求多面体的体积.
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