Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AD⊥AB，且PB=AB=AD=3，BC=1．
（Ⅰ）若点F为PD上一点且$PF=\frac{1}{3}PD$，证明：CF∥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角B-PD-A的大小；
（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点M，使得CM⊥PA？若存在，求出PM的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）过点F作FH∥AD，交PA于H，连接BH，证明HF∥BC，CF∥BH，然后证明CF∥平面PAD．
（Ⅱ）说明BC⊥AB．PB⊥AB，PB⊥BC，以B为原点，BC，BA，BP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面BPD的一个法向量，平面APD的一个法向量，通过向量的数量积求解二面角B-PD-A的大小．
（Ⅲ）假设存在点M，设$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PD}=（3λ，3λ，-3λ）$，利用向量的数量积求解即可．

解答 解：（Ⅰ）证明：过点F作FH∥AD，交PA于H，连接BH，
因为$PF=\frac{1}{3}PD$，所以$HF=\frac{1}{3}AD=BC$．…．（1分）
又FH∥AD，AD∥BC，所以HF∥BC．…．（2分）
所以BCFH为平行四边形，所以CF∥BH．…．（3分）
又BH?平面PAB，CF?平面PAB，…．（4分）（一个都没写的，则这（1分）不给）
所以CF∥平面PAB．…．（5分）
（Ⅱ）因为梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，所以BC⊥AB．
因为PB⊥平面ABCD，所以PB⊥AB，PB⊥BC，
如图，以B为原点，BC，BA，BP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，…．（6分）
所以C（1，0，0），D（3，3，0），A（0，3，0），P（0，0，3）．
设平面BPD的一个法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，平面APD的一个法向量为$\overrightarrow m=（a，b，c）$，
因为$\overrightarrow{PD}=（3，3，-3），\overrightarrow{BP}=（0，0，3）$，
所以$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{PD}•\overrightarrow n=0\\ \overrightarrow{BP}•\overrightarrow n=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}3x+3y-3z=0\\ 3z=0\end{array}\right.$，…．（7分）
取x=1得到$\overrightarrow n=（1，-1，0）$，…．（8分）
同理可得$\overrightarrow m=（0，1，1）$，…．（9分）
所以$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow m＞=\frac{\overrightarrow n•\overrightarrow m}{|\overrightarrow n||\overrightarrow m|}=-\frac{1}{2}$，…．（10分）
因为二面角B-PD-A为锐角，
所以二面角B-PD-A为$\frac{π}{3}$．…．（11分）
（Ⅲ）假设存在点M，设$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PD}=（3λ，3λ，-3λ）$，
所以$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CP}+λ\overrightarrow{PM}=（-1+3λ，3λ，3-3λ）$，…．（12分）
所以$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{CM}=-9λ+3（3-3λ）=0$，解得$λ=\frac{1}{2}$，…．（13分）
所以存在点M，且$PM=\frac{1}{2}PD=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．…．（14分）

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，向量的数量积的应用，考查空间想象能力以及计算能力．