Question

【题目】已知函数f（x）=x2+（2a﹣8）x，不等式f（x）≤5的解集是{x|﹣1≤x≤5}．
（1）求实数a的值；
（2）f（x）≥m2﹣4m﹣9对于x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=x2+（2a﹣8）x，不等式f（x）≤5的解集是{x|﹣1≤x≤5}，

∴x=﹣1，x=5是方程x2+（2a﹣8）x﹣5=0的两个实数根，

所以﹣1+5=8﹣2a，

解得a=2

（2）解：∵a=2，∴f（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4≥﹣4，

因为f（x）≥m2﹣4m﹣9对于x∈R恒成立，

所以﹣4≥m2﹣4m﹣9，

即m2﹣4m﹣5≤0，

解得﹣1≤m≤5，

故实数m的取值范围是{m|﹣1≤m≤5}

【解析】（1）由函数f（x）=x2+（2a﹣8）x，不等式f（x）≤5的解集是{x|﹣1≤x≤5}，知x=﹣1，x=5是方程x2+（2a﹣8）x﹣5=0的两个实数根，由此能求出实数a．（2）由f（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4≥﹣4，f（x）≥m2﹣4m﹣9对于x∈R恒成立，知﹣4≥m2﹣4m﹣9，由此能求出实数m的取值范围．