Question

如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，则下列四个结论中错误的是（　　）

• A、BD⊥AC
• B、△ABC是等边三角形
• C、平面ADC⊥平面ABC
• D、二面角A-BC-D的正切值为

  2

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离

分析：设等腰直角三角形△ABC的腰为a，则斜边BC=

2

a，
A，利用面面垂直的性质定理易证BD⊥平面ADC，又AC?平面ADC，从而可知BD⊥AC，可判断A；
B，依题意及设法可知，AB=AC=a，BD=CD=

2

2

a，利用勾股定理可求得BC=

2

•

2

2

a=a，从而可判断B；
C，作出平面ADC与平面ABC的二面角的平面角，利用BD⊥平面ADC可知，∠BDF为直角，∠BFD不是直角，从而可判断C；
D，作出二面角A-BC-D的平面角∠AED，设为θ，可求得tanθ=

2

，从而可判断D．

解答： 解：设等腰直角三角形△ABC的腰为a，则斜边BC=

2

a，
对于A，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，
又平面ABD⊥平面ACD，平面ABD∩平面ACD=AD，BD⊥AD，BD?平面ABD，
∴BD⊥平面ADC，又AC?平面ADC，
∴BD⊥AC，故A正确；
对于B，由A知，BD⊥平面ADC，CD?平面ADC，
∴BD⊥CD，又BD=CD=

2

2

a，
∴由勾股定理得：BC=

2

•

2

2

a=a，又AB=AC=a，
∴△ABC是等边三角形，故B正确；
对于C，∵△ADC为等腰直角三角形，取斜边AC的中点F，则DF⊥AC，又△ABC为等边三角形，连接BF，则BF⊥AC，

∴∠BFD为平面ADC与平面ABC的二面角的平面角，
由BD⊥平面ADC可知，∠BDF为直角，∠BFD不是直角，故平面ADC与平面ABC不垂直，故C错误；
对于D，依题意知，AD⊥底面BDC，

过点D作DE⊥BC于点E，连接AE，则AE⊥BC，
∴∠AED为二面角A-BC-D的平面角，设为θ，则tanθ=

AD

DE

=

ABsin45°

BDsin45°

=

a

2 a 2

=

2

，故D正确；
故选：C．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查线面垂直的判定与应用，考查二面角的作图与运算，属于中档题．