Question

已知函数f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x，x∈[

π

4

，

π

2

]．
（Ⅰ）求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用降幂公式将f（x）化简为f（x）=1+2sin（2x-

π

3

），即可求得f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）|f（x）-m|＜2?f（x）-2＜m＜f（x）+2，而x∈[

π

4

，

π

2

]，可求得2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，从而可求得f（x）_max=3，f（x）_min=2，于是可求实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=[1-cos（

π

2

+2x）]-

3

cos2x
=1+sin2x-

3

cos2x
=1+2sin（2x-

π

3

） …（3分）
又∵x∈[

π

4

，

π

2

]，
∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，，即2≤1+2sin（2x-

π

3

）≤3，
∴f（x）_max=3，f（x）_min=2．…（7分）
（Ⅱ）∵|f（x）-m|＜2?f（x）-2＜m＜f（x）+2，
∵x∈[

π

4

，

π

2

]，…（9分）
由（1）可知，f（x）_max=3，f（x）_min=2，
∴m＞f（x）_max-2=1且m＜f（x）_min+2=4，
∴1＜m＜4，即m的取值范围是（1，4）．…（14分）

点评：本题考查三角函数恒成立问题，着重考查正弦函数的定义域和值域，考查三角函数的化简求值与辅助角公式的应用，属于中档题．