Question

2．已知数列{a_n}中．a₁=$\frac{3}{5}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，则数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{3}{6n-1}$．

Answer 1

分析 将所给的式子变形得：-2a_n+1•a_n=a_n+1-a_n，两边除以a_n+1•a_n后，根据等差数列的定义，构造出新的等差数列{ $\frac{1}{{a}_{n}}$}，再代入通项公式求出 $\frac{1}{{a}_{n}}$，再求出a_n．

解答 解：由题意得a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，则-2a_n+1•a_n=a_n+1-a_n，
两边除以a_n+1•a_n得，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{5}{3}$为首项，2为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{5}{3}$+（n-1）×2=2n-$\frac{1}{3}$，
则a_n=$\frac{1}{2n-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{6n-1}$，
故答案为：a_n=$\frac{3}{6n-1}$．

点评 本题考查数列递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意构造法的合理运用，是中档题．