Question

已知函数f（x）=

1+alnx

x

，a∈R．
（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；
（2）在（1）条件下，若直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切，求实数k的值；
（3）记M={y|y=f（x）}，若

a

9

∈M，求满足条件的实数a的集合．

Answer 1

分析：（1）根据极值的定义可得f′（1）=0，求解即可得到实数a的值；
（2）设切点A（x₀，y₀），根据直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切和导数的几何意义，可得k=f′（x₀），再根据k=k_OA，建立关于x₀的等式，然后求出x₀（要注意其大于0），即可求得实数k的值；
（3）要使M={y|y=f（x）}，且

a

9

∈M，即存在x₀∈（0，+∞），使得f（x₀）=

a

9

，即

1+alnx0

x0

-

a

9

=0，即9（1+alnx₀）=ax₀，则x₀-9lnx₀=

9

a

，令g（x）=x-9lnx，利用导数研究g（x）的取值范围，从而可求出a的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）=

1+alnx

x

，
∴f′（x）=

a-1-alnx

x2

，
∵函数f（x）在x=1处取得极值，
∴f′（1）=a-1=0，
∴a=1；
（2）由（1）可知，a=1，
∴f（x）=

1+lnx

x

，
∴f′（x）=-

lnx

x2

，
设切点A（x₀，y₀），即（x₀，

1+lnx0

x0

），
∴k=f′（x₀）=-

lnx0

x02

，
又∵k=k_OA=

y0

x0

=

1+lnx0

x02

，
∴-

lnx0

x02

=

1+lnx0

x02

，解得，lnx0=-

1

2

，
∴x₀=e-

1

2

，
∴k=-

lnx0

x02

=

e

2

，
实数k的值为

e

2

；
（3）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∵M={y|y=f（x）}，且

a

9

∈M，
∴存在x₀∈（0，+∞），使得f（x₀）=

a

9

，即

1+alnx0

x0

-

a

9

=0，
即9（1+alnx₀）=ax₀，则x₀-9lnx₀=

9

a

令g（x）=x-9lnx，
∴g′（x）=1-

9

x

，令1-

9

x

=0，解得x=9，
当x∈（0，9）时，g′（x）＜0，函数g（x）在（0，9）上单调递减，
当x∈（9，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）在（9，+∞）上单调递增，
∴g（x）在x=9处取极小值即为最小值9-9ln9，
∴

9

a

≥9-9ln9，则a＞0或a≤

1

1-ln9

．

点评：本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，元素与集合关系的判断．解题时要注意运用极值点必定是导函数对应方程的根，而导函数对应方程的根不一定是极值点．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．属于中档题．