Question

已知F是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点，过点F作斜率为2的直线l使它与圆x²+y²=b²相切，则椭圆离心率是（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  3

  2

• C、

  5

  3

• D、

  6

  3

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：用点斜式求得直线l的方程为2x-y-2c=0．再根据圆心（0，0）到直线l的距离等于半径b，求得 b²=

4

5

c²．再根据a²-b²=c²，求得离心率

c

a

的值．

解答： 解：设椭圆的右焦点为F（-c，0），c=

a2-b2

，∵直线PF的斜率为2，
则直线l的方程为y-0=2（x-c），即 2x-y-2c=0．
再根据直线l与圆x²+y²=b²相切，可得圆心（0，0）到直线l的距离等于半径b，
即

|0-0-2c|

4+1

=b，求得 b²=

4

5

c²．
再根据a²-b²=c²，可得a²-

4

5

c²=c²，求得

c

a

=

5

3

，
故选：C．

点评：本题主要考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，直线和圆相切的性质，属于基础题．