Question

已知函数f(x)=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值。
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）求证：对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f(x₁)-f(x₂)|≤4；
（3）若过点A（1，m）（m ≠-2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的范围。

Answer 1

解：（1）=3ax²+2bx-3，
依题意，f′(1)=f′(-1)=0，
即解得a=1，b=0，
∴f（x）=x³-3x。
（2）∵f(x)=x³-3x，
∴f ′(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)，
当-1＜x＜1时，f ′(x)＜0，故f(x)在区间[-1，1]上为减函数，
f_max(x)=f(-1)=2，f_min(x)=f(1)=-2，
∵对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，
都有|f(x₁)-f(x₂)|≤|f_max(x) -f_min(x)|，
∴ |f(x₁)-f(x₂)|≤|f_max(x)-f_min(x)|=2-(-2)=4。
（3）f′(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)，
∵曲线方程为y=x³-3x，
∴点A（1，m）不在曲线上，
设切点为M（x₀，y₀），则点M的坐标满足，
因，故切线的斜率为，
整理得，
∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，
设，则，
由，得x₀=0或x₀=1，
∴g(x₀)在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
∴函数的极值点为x₀=0，x₀=1，
∴关于x₀方程有三个实根的充要条件是，解得-3＜m＜-2，
故所求的实数a的取值范围是-3＜m＜-2。